Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans involutions; en effet, cette démonstration consiste en la construction d'un espace symétrique de dimension deux (“un plan”), puis à montrer que ce plan ne peut exister. Aux sous-espaces symétriques définissables de ces groupes sont associées des symétries et des transvexions, qu'on entreprend d'étudier ici dans l'abstrait, sans référence à un groupe qui les enveloppe; cela nous mène à considérer des structures introduites axiomatiquement que nous appelonssymétrons(plutôt qu'ensembles symétriques diadiques,comme les ont nommées Lawson & Lim 2004). Le $Z^*$ -Theorem de Glauberman permet d'élucider complètement la structure des symétrons finis: chacun est isomorphe à l'ensemble des symétries associées à un sous-espace symétrique d'un groupe fini sans involutions, qui est loin d'être uniquement déterminé: de fait, il existe des groupes finis non isomorphes qui ont les mêmes symétries, et aussi des symétrons finis qui ne sont pas isomorphes aux symétries d'un groupe, La situation est plus incertaine dans le cas des symétrons de rang de Morley fini, ou même algébriques, qui sont l'objet d'étude principal de cet article. Mais bien qu'un symétron soit une structure nettement plus faible qu'un groupe, nous pouvons étendre aux symétrons des résultats bien connus à propos des groupes de rang de Morley fini: condition de chaîne, décomposition en composantes connexes, caractérisation des parties définissables génériques, génération elliptique, etc. Ces propriétés sont nouvelles même dans le cas des sous-espaces symétriques d’un groupe, et permettent de court-circuiter les calculs de Frécon dans la construction de son plan paradoxal. En outre, sous l'hypothèse de la Conjecture d'Algébricité, nous généralisons le Théorème de Glauberman au contexte de rang de Morley fini.

We comment on an early and inspiring remark of an Omskian mathematician\nconcerning the Cherlin—Zilber Conjecture, meeting in passing some\nwell-known properties of algebraic groups whose generalization to arbitrary\ngroups of finite Morley rank seems to be very uncertain.\nThis paper assumes a familiarity with the model theoretic tools involved\nin the study of the groups of finite Morley rank.

Les groupes de rang de Morley fini satisfont des conditions extraordinairement favorables d'additivité et de définissabilité du rang, ainsi que des propriétés de généricité optimales, et pourtant leur étude pose des problèmes sérieux dès le rang trois, comme il a été montré dans un célèbre article de Gregory Cherlin [Cherlin, 1979]. Nous allons ici étendre les résultats de Cherlin au contexte plus acrobatique du rang de Cantor; il nous faudra remplacer les arguments reposant sur des propriétés générales du rang de Morley par des considérations ad hoc, qui ne fonctionnent que parce que les petits rangs ne laissent pas beaucoup de place, et les arguments de généricité, qui reposent en dernière analyse sur la symétrie de la déviation, par des propriétés de symétrie spécifiques aux ensembles auxquels ils sont appliqués. Nous invitons notre lecteur à considérer cet article, qui ne fait que démontrer péniblement des résultats d'intérêt anecdotique, comme une méditation sur la force cachée des axiomes introduits dans la préface de [Poizat, 1987].

Résumé Nous définissons une classe de suites de polynômes, calculés par des circuits de complexité polynomiale comprenant des additions, des soustractions. des multiplications et des sommations de Valiant. Nous montrons que cette classe est close pour la prise de la fonction-coefficient. définie au paragraphe 3 de cet article; nous en déduisons l'existence d'un circuit de complexité 72. n 2 , calculant le coefficient binomial de deux nombres de n chiffres, donnés en base 2. Il est par ailleurs facile de construire un circuit de complexité 17. n + 2 calculant la factorielle d'un nombre de n chiffres. La présence de 2. n sommations d'effet exponentiel dans chacun de ces circuits en affecte gravement l'intérêt pratique. II est peu probable, ou du moins peu souhaitable. qu'on puisse éliminer ces sommations sans explosion, car cela provoquerait la catastrophe cryptographique que redoutent tous les banquiers; néanmoins, nous ne savons pas séparer la classe définie ici de celle des suites de polynômes calculables en un nombre polynomial d'opérations arithmétiques. Cela n'a rien de surprenant, vu la très grande affinité qu'elle a avec la classe PSPACE: nous montrons en effet que cette classe est identique à la classe VPSPACE, définie antérieurement par Koiran et Perifel, qui apparaît ici sous une forme bien plus maniable que l'originale.

Résumé We revisit the foundations of positive model theory, introducing h-inductive sentences. These allow a considerably simplified presentation of positive model theory, as well as a characterisation of Hausdorffcats by an amalgamation property of their h-inductive theory.

Abstract We define elementary extension and elementary equivalence in Positive Logic.

International audience

Abstract IfGis an omega-stable group with a normal definable subgroupH, then the Sylow-2-subgroupsG/Hare the images of the Sylow-2-subgroups ofG. Zusammenfassung.SeiGeine omega-stabile Gruppe undHein definierbarer Normalteiler vonG. Dann sind die Sylow-2-Untergruppen von G/H Bilder der Sylow-2-Untergruppen vonG.

Resumo Ni montras propecon de eljeteco de la kvantoro (∃y ∈ M) pri la (sufice) belaj paroj de modeloj de una O-plimalpova teorio. Gi havas korolaron ke, se ni aldonas malkavajn unarajn predikatojn a la lingvo de kelka O-plimalpova strukturo, ni ricevas malforte O-plimalpovan strukturon. Tui ci rezultato estis en speciala kaso pruvita de [5], kaj la gia generalizeco estis anoncita en [1].

Abstract We develop a Sylow theory for stable groups satisfying certain additional conditions (2- finiteness, solvability or smallness) and show that their maximal p-subgroups are locally finite and conjugate. Furthermore, we generalize a theorem of Baer-Suzuki on subgroups generated by a conjugacy class of p-elements.

Une bijection p de M2 dans M est dite sans cycles, ou encore localement libre, si pour tout terme t(x1,…,xn) formé à partir de p, et qui n'est pas une simple variable, on a, pour tous a1,…,an de M, t(a1,… an) ≠ a1; toutes ces “fonctions-paires” sont élémentairement équivalentes, à condition, bien sûr, que l'ensemble M soit non vide, et leur théorie (parfois traduite dans un autre langage) a été considérée par divers auteurs. Ainsi, A. Mal'cev [Mal'cev 1962] a décrit toutes les théories d'algèbre localement libres, associées à un langage fonctionnel arbitraire; O. Belegradek [Belegradek] a étudié dans le détail leurs propriétés de stabilité; F. Lucas [Lucas 1978] avait également considéré des fonctions-paires localement libres; c'est encore une fonction-paire qui a été utilisée par J. F. Pabion [Pabion 1982], pour ω1-saturer, mais pas davantage, les modèles de l'Arithmétique; il a été remarqué, dans [Poizat 1984], combien il était utile pour cela de disposer d'une théorie non superstable sans propriété de recouvrement fini; dans un tout autre contexte, et pour de tout autres raisons, cette théorie de fonctions-paires a également été utilisée dans [Poizat 1986]; tous ces emplois supposent qu'on y maîtrise bien l'élimination des quanteurs.

Le rêve secret de tout logicien, c’est de prouver un résultat mathématique significatif avec des moyens de fortune; ce rêve se réalise parfois de manière quelque peu biaisée, le théorème obtenu n’étant qu’une version trop simplifiée, ou bien trop adaptée aux besoins de la logique, pour convaincre un mathématicien normal. C’est pour cela que j’annonce d’emblée la couleur, et que je précise les règles du jeu: la version du théorème de Borel-Tits que je vais montrer, concernant les groupes algébriques simples sur un corps de base algébriquement clos, sera considérée comme pratiquement évidente par un géomètre; mais c’est, à mon avis, la seule qui ait un intérêt pour un théoricien des modèles. Quand on entreprend ainsi de redémontrer une version simple d’un résultat par ailleurs bien connu, le seul intérêt est dans la méthode: ce que je veux, ici, c’est présenter une preuve qui n’utilise aucune information, ou presque, sur la structure algébrique de ces groupes; il est même souhaitable d’oublier qu’il s’agit de groupes linéaires! Elle repose sur des résultats généraux concernant les groupes de rang de Morley fini, dus à divers auteurs, dont le principal, Boris Iosifovič Zil′ber, a déjà fait une tentative similaire [Zil′ber 1984]; je poursuis ici cette tentative, mais en me limitant à des arguments encore moins spécifiques au contexte de la géométrie. Si je fais ainsi, ce n’est pas pour donner l’impression que l’unique ambition de la théorie des modèles est de montrer des résultats triviaux par des méthodes triviales.

Le plus souvent, la logique reste une discipline à la périphérie des mathématiques, qu’elle observe de l’extérieur, sans y pénétrer vraiment. C’est un discours sur les mathematiques qui ne dit rien au mathématicien; il n’y reconnait pas son activité favorite, ni ne croit qu’elle puisse avoir une influence sur sa pratique. L’illustration la plus extrême de cette tradition, ce sont les “reverse mathematics” de Harvey Friedman, qui connaissent le succès que l’on sait. Je veux parler ici d’une tendance toute opposée, secrétée par les développements contemporains de la théorie des modèles, qui promet des positions beaucoup plus directes. Elle se cristalise autour de l’étude des groupes stables; l’apparition de groupes n’a rien d’inattendu dans un contexte mathématiquement signifiant: un groupe, c’est ce qui garantit une structure non-triviale (ceci n’est pas un simple argument terroriste: il y a des théoremes pour le soutenir); quant à la stabilité, c’est une hypothèse de controle structurel, au large champ d’application, et qu’on pourra dépasser quand seront résolus les problèmes posés dans le cadre stable.

Dans Poizat [1981], le second auteur a montré qu'un sous-groupe infiniment définissable d'un groupe stable était intersection de sous-groupes définissables; il a posé la question de savoir si une relation d'équivalence E, infiniment définissable dans un modèle M d'une théorie stable T, était conjonction de relations d'équivalence définissables. Nous allons voir ici que c'est presque exact: c'est vrai si T est totalement transcendante, et, dans le cas général de stabilité E a toujours un raffinement E1 (plus précisément, E1 est la conjonction de E et de la relation “x et y ont même type”) qui a cette propriété; cela montre que cette relation E n'introduit pas d'imaginaires d'une nature vraiment différente de celle des imaginaires de Shelah: dans une théorie stable, un imaginaire infinitaire n'est rien d'autre qu'un ensemble d'imaginaires finis. La démonstration du théorème principal de cette note s'appuie lourdement sur la construction Meq de Shelah, la machinerie de la déviation, les paramètres imaginaires canoniques pour la définition d'un type stable, etc…. Pour tout cela, les références adéquates sont Shelah [1978], Pillay [1983], et Poizat [1985, Chapitre 16]. Nouscommençons par préciser ce que nous entendons par “relation d'équivalence infiniment définissable”: une collection de formules e( , ȳ), et ȳ étant de longueur n, telle que, pour tout modèle M de T, les couples ( , ȳ) qui les satisfont toutes forment une rélation d'équivalence E.

Quoi qu'en pensent certains, la déviation de Saharon Shelah n'est pas qu'une construction technique servant à un résultat plus technique encore, le théorème de classification; c'est la notion de dépendance la plus générale qui soit apparue dans un contexte mathématique, si bien que toute propriété qu'on pourra attribuer à cette déviation sera, dans le fond, une propriété de la notion même de corrélation. L'auteur de ces lignes a trouvé la vie beaucoup plus plaisante quand il a pu lire la déviation, associée à une théorie stable T, dans un ordre qu'il était facile de définir sur les types complets au-dessus des modèles de T; s'il a qualifié cet ordre de “fondamental”, ce n'est pas pour donner une emphase hors de propos à sa modeste contribution au démélage de l'échevau shelahien, mais parce que le rang U de Lascar n'était autre que le rang de fondation de l'ordre fondamental. L'ordre fondamental condense l'essentiel de la déviation, sous une forme pour ainsi dire graphique; certes, tout ne peut s'y retrouver, et en particulier des théories peuvent avoir des ordres fondamentaux semblables si on se limite aux 1-types, et fort différents si on regarde aussi les bitypes; mais il est clair que dès qu'apparait l'ordre fondamental se pose de façon urgente le problème de décrire tous les ordres qui peuvent être ordre fondamental d'une théorie stable: tant que ce programme n'est pas rempli, il reste des propriétés cachées de la déviation.

Le prophète des Crétois, nous le savions depuis longtemps, n'était qu'un menteur; pourtant, à l'aube de ce siècle, quand nous avons voulu traduire nos mathématiques en termes d'ensembles, notre conscience s'est troublée de la découverte de paradoxes. “Si R est une relation binaire entre éléments d'un ensemble (sic) E, il n'existe pas d'élément a de E, tel que pour tout x de E (a, x) satisfasse R si et seulement si (x, x) ne satisfait pas R.” Voilà un résultat bien banal! Quel est cet assaisonement fondationnel qui a le pouvoir de lui donner une saveur si troublante? C'est, sans doute, qu'il manifeste de façon brutale la contradiction d'un système d'axiomes auquel nous sommes viscéralement attachés, la “théorie des ensembles”, composée de l'axiome d'extensionalité (sans influence sur les paradoxes), et du schéma de compréhension (car nous avons d'excellentes raisons de vouloir rester dans le premier ordre, et d'éviter, à l'encontre de Zermelo, un axiome du second ordre). Nous croyons en premier lieu que la théorie des ensembles est vraie. C'est un peu délicat de préciser ce qu'on entend par là: quand on formalise l'arithmétique, il n'y a pas de confusion possible sur la structure de référence qu'on veut décrire; mais le modèle naturel, le “modèle standard” de la théorie des ensembles, le connait-on vraiment? L'auteur de ces lignes est incapable d'en décider: cela ne l'empêchera pas de faire appel à l'intuition ensembliste la plus débridée, ce qui montre qu'il n'est pas rebuté par l'incohérence plus que par la contradiction!

Cette note est consacrée à quelques compléments à mon article [6], que le lecteur est supposé avoir sous les yeux, et qui traite de la propriété de recouvrement fini, de Keisler. Je rappelle seulement ici que: a) La définition originale est la suivante: une théorie complète T n'a pas la p.r.f. si à toute formule f(x, ȳ) de son langage est associé un entier n, de sorte que tout ensemble (fini!) {f(x, ā1), …, f(x, ās)}, où les āi; sont des paramètres extraits d'un modèle M de T, soit consistant dès que ses parties à n éléments le sont. Une théorie sans p.r.f. satisfait done un renforcement du théorème de compacité; elle est en ce sens plus simple qu'une théorie avec p.r.f. b) T n'a pas la p.r.f. si et seulement si elle est stable (i.e. tout type sur un modèle M de T est définissable; à toute formule f(x, ȳ) est associée une formule g(ȳ, ā) à paramètres dans M, telle que les de M pour lesquels f(x, ) est dans le type en question soient précisément ceux qui vérifient g(ȳ, ā)), et si en outre on peut exprimer par une formule sur le paramètre ā que g(ȳ, ā) définit un f-type consistant: à f1(x, ȳ), …, fs(x, ȳ), g1(ȳ, ), …, gs(ȳ, ) est associé une formule h( ), telle que pour tout ā de tout modèle M de T, ā satisfasse h si et seulement si l'ensemble de tous les fi(x, ), où est dans M et satisfait gi(ȳ, ā), est consistant.

Cette note est une suite à mon article Théories instables, this Journal, vol. 46 (1981), pp. 513–522. Quand il en a eu pris connaissance, Saharon Shelah–et c'est remplir un devoir agréable que de lui témoigner ici ma reconnaissance pour l'intérêt qu'il porte à mes travaux–m'a fait savoir qu'il pouvait en simplifier les résultats, et a publié le Théorème 1 de ce post-scriptum, pour le cas des cohéritiers, dans les “added in proof” de son Simple unstable théories, Annals of Mathematical Logic, vol. 19 (1980), pp. 177–203, plusieurs mois avant que ne paraisse l'article qu'il améliore. On verra ici que ce théorème se généralise sans problème aux fils spéciaux, et que son corollaire, le Théorème 2, représente un net progrès sur mon résultat original, puisqu'il est à la fois plus général, plus précis, et obtenu à moindre frais, le lemme sur les ultrafiltres devenant inutile. Quelques rappels pour commencer: je considère une théorie complète T, sans propriété d'indépendance; cela signifie que toute suite … ai … indicernable dans l'ordre est insécable, c'est-à-dire qu'il ne peut exister de formule f(x, ȳ) et de paramètres tels que f(ai, ) soit vraie cofinalement, et fausse cofinalement, dans la suite; cela signifie encore que cette suite s est découpée par la formule f(x, ) en un nombre fini de segments S1, …, Sk, la formule prenant la même valeur de vérité dans chaque segment, et des valeurs opposées dans des segments consécutifs; ce nombre k de segments sera appelé nombre d'alternance de la formule f(x, ) sur la suite s. On remarquera que, par compacité, ce nombre d'alternance est majoré en fonction seulement de f(x, ȳ).

Le paradigme de théorie stable est la théorie T d'un corps algébriquement clos; une autre théorie stable T′ est celle de la structure formée d'un corps algébriquement clos, avec en outre un symbole relationnel unaire interprétant un de ses sous-corps propres algébriquement clos. C'est à l'éclaircissement des rapports de T et de T′ qu'est consacré cet article. J'y considère une théorie complète T stable, et les structures formées d'un modèle N de T, avec en outre un symbole relationnel unaire (x) interprétant une restriction élémentaire M de N; j'appelle ces structures paires de modèles de T. Et je dis que la paire (N, M) est belle si d'une part M est ∣T∣+-saturé, et d'autre part pour tout n-uplet ā d'éléments de N, tout type, au sens de T, sur M ⋃ {α} est réalisé dans N. Le premier résultat (Théorème 4) est que deux belles paires sont élémentairement équivalentes. Plus précisément, si (N1, M1) et (N2, M2) sont deux belles paires, et si ā est dans la première, b¯ dans la seconde, le fait que le type de ā sur M1 et celui de b¯ sur M2 soient équivalents dans l'ordre fondamental au sens de T suffit (et est bien sûr nécessaire) pour que ā at b¯ aient même type (sur ⊘) au sens de la théorie T′ des belles paires.

Cet article ne contient rien de révolutionnaire, et son auteur a conscience du risque qu'il court de le voir dépassé, lors de sa parution, par des travaux plus profonds. Il a pensé qu'il n'était pas inutile de publier, faute de mieux, les résultats simples auxquels il est parvenu (le lecteur lui saura gré de ce caractère reposant), en espérant qu'il passeront à la postérité sous forme d'exercices dans les manuels futurs où les petits enfants apprendront la théorie des modèles. Il s'agit de groupes stables; on sait depuis longtemps que la stabilité de la théorie d'un groupe impose des “conditions de chaîne” sur ses sous-groupes définissables : l'exploitation de ce phénomène, de nature bien algébrique, qui est brièvement exposé dans la première section de cet article, a fait le bonheur d'une génération de théoriciens des modèles. Un autre phénomène, plus subtil, semble ne pas avoir épuisé sa substance : c'est celui, dont l'apparition remonte aux travaux de B. Zilber, qui est décrit dans [7] sous le nom de “types de strate maximum”, et dans [2] sous le nom de “large sets”; la deuxième section lui est consacrée: elle a été écrite dans le désir de montrer l'équivalence de ces deux approches, et aussi par repentir de n'avoir pas suffisament éclairé ses motivations dans [7]. Ce souci d'unification a eu une influence, que j'espère salutaire, sur le vocabulaire: je parle ici de “types génériques” et d'“ensembles (ou de formules) génériques”. Ces termes, ainsi que celui de “composante connexe”, sont empruntés au langage de la géométrie: un groupe algébrique, étant définissable dans la théorie d'un corps algébriquement clos, est stable, et ses “types génériques” sont les “points génériques” des géomètres.

La communauté mathématique doit être reconnaissante à Saharon Shelah pour une invention d'une ingénieuse simplicité, celle d'avoir associé à chaque structure M une structure Meq comprenant, outre les éléments de M, des “éléments imaginaires” qui sont virtuellement présents dans M. La finalité de cette construction est de pourvoir toute formule à paramètres dans M, et même dans Meq, d'un ensemble de définition minimum; tout cela est rappelé dans la première section du présent article. On peut a priori douter de l'utilité d'une construction si innocente, dont la propriété fondamentale est pratiquement évidente; et pourtant elle a été abondamment montrée par son auteur, à qui elle a permis, dans les théorèmes de classification des modèles, une décomposition des types en éléments simples, qu'on ne voit pas dans M. Cette construction d'un plus petit ensemble de définition pour une formule en rappelle une autre, qui est bien connue des algébristes, celle du corps de définition d'un idéal. Et comme la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique donnée élimine les quanteurs, on a le sentiment que l'adjonction d'imaginaires aux modèles de cette théorie est inutile, en un mot qu'elle “élimine les imaginaires”; pour vérifier le bien-fondé de ce sentiment, il convient d'abord de préciser ce qu'on entend par là, ce qui est fait dans la deuxième section.

Si vous ne gardez du calcul des prédicats classique (que j'appellerai Lω) que les formules qui ne font intervenir, tant en occurences libres que liées, que les n premières variables, vous obtenez le langage Ln. Avant de poursuivre, et de façon un peu cavalière, je vous invite à résoudre l'exercice suivant: Exercice 1. Dans le langage comprenant seulement un symbole de relation binaire, caractériser à isomorphisme près la chaîne à n éléments au moyen d'un seul énoncé de L2. Vous avez vu que Ln a plus de possibilités d'expression que vous ne l'aviez d'abord pensé, qu'il est ennemi de la forme prénexe, que sa force au contraire réside dans l'utilisation d'une même variable en différentes places d'une formule. Ces langages ont été étudiés par Léon Henkin dans [1]; il y remarque que L1 est très pauvre: c'est le “calcul des classes”, on y peut seulement exprimer que des combinaisons booléennes de formules atomiques sont vides ou non, et nous n'en parlerons plus; il montre ensuite que tout théorème de L2est prouvable par une suite de déductions (d'un système classique) qui ne fait intervenir que des énoncés de L3. Dans [2], Donald Monk construit pour tout n un théorème de L3 dont toute preuve utilise des énoncés avec au moins n variables. Dans [3], Dana Scott prouve que L2 est décidable; ce résultat est précisé par Michael Mortimer dans [4], qui montre que tout énoncé consistant f de L2 a un modèle fini, de cardinal borné effectivement en fonction de f. Pour n supérieur ou égal à 3, Ln n'est plus décidable car il a même pouvoir d'expression que Lω, comme il est montré dans l'exercice suivant.

On sait, depuis les travaux de Zil'ber et de Cherlin, que le degré de Morley de la théorie T d'un groupe G totalement transcendant est l'indice du plus petit sous-groupe définissable d'indice fini de G. Il est clair qu'il lui est supérieur, et l'inégalité inverse peut s'obtenir de la manière suivante: on fait agir G sur les types de S1(G) de rang de Morley maximum en associant à p, type de x au-dessus de G, le type ap de ax au-dessus de G; on montre alors que cette action est définissable, que le fait que ap = q équivaut au fait que a satisfasse une certaine formule à paramètres dans G, ce qui est bien facile si on n'oublie pas que dans une théorie stable tous les types sont définissables; on montre ensuite que cette action est transitive, que si p et q sont de rang de Morley maximum il existe a dans G tel que ap = q, et la méthode la plus rapide, mais qui est aussi la plus sophistiquée, est d'utiliser l'argument de symétrie de la déviation employé dans la preuve de la Proposition 1 de présent article; on conclut alors puisque le degré de Morley, qui est par définition le nombre de types de rang de Morley maximum, ést egal à l'indice du stabilisateur de p, qui est définissable. Ce comportement des types de rang de Morely maximum se retrouve sans peine, si G est seulement superstable, dans celui des types de “plus petit rang continu” (encore appellé “degré de Shelah”) maximum. Pour trouver ce qui leur correspond dans le cas où G est seulement stable, il faut être un peu plus soigneux, et considérer les types p de S1(G), où G aura éventuellement été remplacé par une extension élémentaire suffisament saturée, tels que pour tout a de G ap ne dévie pas sur ∅: on montre qu'ils existent, et qu'ils sont tous conjugués par action de G; le fait que ap = q s'exprimera cette fois par une infinité de formules et non plus par une seule.

L'absence ou la présence de la propriété d'indépendance, introduite par Shelah, est sans aucun doute une mesure significative de la complexité, du point de vue de la théorie des modèles, d'une théorie instable. Il importe donc de distinguer les théories qui ont cette propriété de celles qui ne l'ont pas; le critère de Keisler [1] et de Shelah [5], qui consiste à compter le nombre de types qu'on peut obtenir sur un ensemble de paramètres de cardinal λ, n'emporte la décision que si l'on nie assez brutalement l'hypothèse du continu généralisée. Je propose ici de compter, étant donnée une partie X, de cardinal λ, d'un espace de types Si(M), quel peut être le cardinal de l'adhérence de X; ce point de vue équivaut au précédent si la théorie T est stable (voir la remarque après le Théorème 7); et si T n'a pas la propriété d'indépendance ce cardinal est au plus 2λ, tandis que si T a la propriété d'indépendance il peut atteindre 22λ (Théorème 7). Cela donne, indépendamment d'hypothèses de théorie des ensembles, une mesure quantitative de la plus grande complexité des espaces de types s'il y a propriété d'indépendance; et sous la forme du Théorème 8, cela devient un test très maniable dans les situations concrètes, car l'expérience m'a prouvé que les cohéritiers d'un type sont toujours faciles à déterminer. Dans une première section, je considère un type complet p au dessus d'un modèle M d'une théorie complète T, et parmi les fils de p sur une extension élémentaire de M j'en distingue certains que j'appelle fils spéciaux de p: cette notion est naturelle et utile pour la suite, car le critère que j'ai décrit revient à prouver l'abondance de certains fils spéciaux d'un même type; on notera au passage le Théorème 3. Le théorème de caractérisation de la propriété d'indépendance est prouvé dans une deuxième section, grâce à un résultat de combinatoire (Théorème 6); j'y montre aussi, à titre d'illustration, qu'un ordre total n'a jamais la propriété d'indépendance.

The notion of forking has been introduced by Shelah, and a full treatment of it will appear in his book on stability [S1]. The principal aim of this paper is to show that it is an easy and natural notion. Consider some well-known examples of ℵ0-stable theories: vector spaces over Q, algebraically closed fields, differentially closed fields of characteristic 0; in each of these cases, we have a natural notion of independence: linear, algebraic and differential independence respectively. Forking gives a generalization of these notions. More precisely, if are subsets of some model and c a point of this model, the fact that the type of c over does not fork over means that there are no more relations of dependence between c and than there already existed between c and . In the case of the vector spaces, this means that c is in the space generated by only if it is already in the space generated by . In the case of differentially closed fields, this means that the minimal differential equations of c with coefficient respectively in and have the same order. Of course, these notions of dependence are essential for the study of the above mentioned structures. Forking is no less important for stable theories. A glance at Shelah's book will convince the reader that this is the case. What we have to do is the following. Assuming T stable and given and p a type on , we want to distinguish among the extensions of p to some of them that we shall call the nonforking extensions of p.